a, b, c, d and e are five consecutive integers in increasing order of size. Which one of the following expression is not odd?

a, b, c, d and e are five consecutive integers in increasing order of size. Which one of the following expression is not odd?

 a+b+c

 ab + c

 ac + e 

ac + d

আমরা জানি, $a, b, c, d, e$ পাঁচটি ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যা, যা আকারে ক্রমশ বাড়ছে। ধরা যাক,

$$a = n, \, b = n+1, \, c = n+2, \, d = n+3, \, e = n+4$$

এখন আমরা প্রতিটি প্রকাশ বিশ্লেষণ করব এবং দেখব কোনটি বিজোড় (odd) নয়, অর্থাৎ জোড় (even)।

---

১. $a + b + c$

$$a + b + c = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$$

• যেহেতু $3(n+1)$ একটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল, এটি সবসময় বিজোড় হবে।

---

২. $ab + c$

$$ab + c = n(n+1) + (n+2)$$

• $n(n+1)$ হলো ধারাবাহিক দুটি সংখ্যার গুণফল, যা সবসময় জোড় হবে (কারণ একটি সংখ্যা অবশ্যই জোড় হবে)।
• $n(n+1)$ যদি জোড় হয় এবং তাতে $n+2$ যোগ করা হয়, তাহলে পুরো প্রকাশ জোড় হবে।
  সুতরাং, এটি বিজোড় নয়।

---

৩. $ac + e$

$$ac + e = n(n+2) + (n+4)$$

• $n(n+2)$ হলো ধারাবাহিক সংখ্যার গুণফল, যা সবসময় জোড় হবে।
• $n(n+2) + (n+4)$ তাতেও একটি জোড় সংখ্যার যোগফল, তাই এটি জোড় হবে।
  সুতরাং, এটি বিজোড় নয়।

---

৪. $ac + d$

$$ac + d = n(n+2) + (n+3)$$

• $n(n+2)$ জোড় এবং $n+3$ বিজোড়।
• জোড় + বিজোড় = বিজোড়।
  সুতরাং, এটি সবসময় বিজোড় হবে।

---

সঠিক উত্তর:

$ab + c$ এবং $ac + e$ জোড় হতে পারে।
বাকি দুটি প্রকাশ ($a + b + c$ এবং $ac + d$) সবসময় বিজোড় হবে।